【题目】对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
(1)分别判断函数y=x-1,y=x-1,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
(2)函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;
(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .
【答案】详见解析.
【解析】试题分析:(1)根据定义分别求解即可求得答案;
(2)①首先由函数y=2x2﹣bx=x,求得x(2x﹣b﹣1)=0,然后由其不变长度为零,求得答案;
②由①,利用1≤b≤3,可求得其不变长度q的取值范围;
(3)由记函数y=x2﹣2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,可得函数G的图象关于x=m对称,然后根据定义分别求得函数的不变值,再分类讨论即可求得答案.
试题解析:解:(1)∵函数y=x﹣1,令y=x,则x﹣1=x,无解;
∴函数y=x﹣1没有不变值;
∵y=x-1 =,令y=x,则,解得:x=±1,∴函数的不变值为±1,q=1﹣(﹣1)=2.∵函数y=x2,令y=x,则x=x2,解得:x1=0,x2=1,∴函数y=x2的不变值为:0或1,q=1﹣0=1;
(2)①函数y=2x2﹣bx,令y=x,则x=2x2﹣bx,整理得:x(2x﹣b﹣1)=0.∵q=0,∴x=0且2x﹣b﹣1=0,解得:b=﹣1;
②由①知:x(2x﹣b﹣1)=0,∴x=0或2x﹣b﹣1=0,解得:x1=0,x2=.∵1≤b≤3,∴1≤x2≤2,∴1﹣0≤q≤2﹣0,∴1≤q≤2;
(3)∵记函数y=x2﹣2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,∴函数G的图象关于x=m对称,∴G:y= .∵当x2﹣2x=x时,x3=0,x4=3;
当(2m﹣x)2﹣2(2m﹣x)=x时,△=1+8m,当△<0,即m<﹣时,q=x4﹣x3=3;
当△≥0,即m≥﹣时,x5=,x6=.
①当﹣≤m≤0时,x3=0,x4=3,∴x6<0,∴x4﹣x6>3(不符合题意,舍去);
②∵当x5=x4时,m=1,当x6=x3时,m=3;
当0<m<1时,x3=0(舍去),x4=3,此时0<x5<x4,x6<0,q=x4﹣x6>3(舍去);
当1≤m≤3时,x3=0(舍去),x4=3,此时0<x5<x4,x6>0,q=x4﹣x6<3;
当m>3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),此时x5>3,x6<0,q=x5﹣x6>3(舍去);
综上所述:m的取值范围为1≤m≤3或m<﹣.
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,
请按要求完成下列各题:
(1)用2B铅笔画AD∥BC(D为格点),连接CD;
(2)线段CD的长为 ;
(3)请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是 ,则它所对应的正弦函数值是 ;
(4)若E为BC中点,则tan∠CAE的值是 .
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【题目】已知△ABC,O 是△ABC 所在平面内的一点,连接 OB、OC,将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2.
(1)如图(1),当点 O 在图中所示的位置时,∠1+∠2+∠A+∠O= ;
(2)如图(2),当点 O 在△ABC 的内部时,∠1、∠2、∠A、∠OC四个角之间满足怎样 的数量关系?请写出你的结论并说明理由;
(3)当点 O 在△ABC 所在平面内运动时(点 O 不在三边所在的直线上),由于所处的位 置不同,∠1、∠2、∠A、∠OC四个角之间满足的数量关系还存在着与(1)、(2) 中不同的结论,请在图(3)中画出一种不同的示意图,并直接写出相应的结论.
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【题目】如图,已知AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,AB=4,CD=6,BC=14,P为BC边上一点,试问BP为何值时,以A,B,P为顶点的三角形与以P,C,D为顶点的三角形相似?
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【题目】已知一次函数的解析式为y=2x+5,其图象过点A(-2,a),B(b,-1).
(1)求a,b的值,并画出此一次函数的图象;
(2)在y轴上是否存在点C,使得AC+BC的值最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知直角三角板和直角三角板,,,
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(1)如图1,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当平分时,求的度数;
(2)在(1)的条件下,继续旋转三角板,猜想与有怎样的数量关系?并利用图2所给的情形说明理由;
(3)如图3,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当落在内部时,直接写出与的数量关系.
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【题目】如图1,甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图2,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是 千米/时,乙车行驶的时间t= 小时;
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式;
(3)直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米.
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【题目】如图,△ABC的顶点A在原点,B、C坐标分别为B(3,0),C(2,2),将△ABC向左平移1个单位后再向下平移2单位,可得到△A′B′C′.
(1)请画出平移后的△A′B′C′的图形;
(2)写出△A′B′C′各个顶点的坐标;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.
(1)m= ;
(2)求点C的坐标;
(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
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