【题目】如图,已知 AD 与 BC 相交于 E ,1 2 3, BD CD, ADB 90, CH AB于 H , CH 交 AD 于 F 。
(1)求证: CD∥ AB ;
(2)求证: BDE ≌ ACE ;
(3)若O 为 AB 中点,求证:OF= BE 。
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)有BD=CD,可得∠1=∠BCD,那么就有∠2=∠BCD,从而CD∥AB;
(2)由∠2=∠3,可得BE=AE,又因为CD∥AB,同样可知DE=CE,根据SAS即可证出:△BDE≌△ACE;
(3)由于O是AB的中点,因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线,进而可得出OF=BE.根据(2)的全等三角形,可得出∠ACE=90°,因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线,来得出AF=EF.
证明:(1)∵BD=CD,
∴∠BCD=∠1;
∵∠1=∠2,
∴∠BCD=∠2;
∴CD∥AB.
(2)∵CD∥AB,
∴∠CDA=∠3.
∵∠BCD=∠2=∠3,
∴BE=AE,且∠CDA=∠BCD,
∴DE=CE.
在△BDE和△ACE中,
,
∴△BDE≌△ACE(SAS);
(3)∵△BDE≌△ACE,
∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°,
∴∠ACH=90°-∠BCH;
又∵CH⊥AB,
∴∠2=90°-∠BCH;
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF;
∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
又∵∠ACH=∠4,
∴∠AEC=∠ECF;
∴CF=EF;
∴EF=AF;
∵O为AB中点,
∴OF为△ABE的中位线,
∴OF=BE.
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【题目】已知 a b , a 与b 两个数在数轴上对应的点分别为点 A 、点 B ,求 A 、 B 两点之间的距离.
(探索)
小明利用绝对值的概念,结合数轴,进行探索:
(1)补全小明的探索
(应用)
(2)若点C 对应的数c ,数轴上点C 到A、B 两点的距离相等,求c .(用含a、b 的代数式表示)
(3)若点 D对应的数 d ,数轴上点 D 到 A 的距离是点 D 到 B 的距离的nn 0 倍,请探索 n 的取值范围与点 D 个数的关系,并直接写出a、b 、d、n 的关系.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图1,点D为△ABC边BC的延长线上一点.
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度数;
(2)若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.
求证: ;
(3)在(2)的条件下,将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC,∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q(如图2),试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系,请写出你的猜想并证明.
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【题目】八年 2 班组织了一次经典诵读比赛,甲乙两组各 10 人的比赛成绩如下表(10 分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(Ⅰ)甲组数据的中位数是 ,乙组数据的众数是 ;
(Ⅱ)计算乙组数据的平均数和方差;
(Ⅲ)已知甲组数据的方差是 1.4 分,则成绩较为整齐的是 。
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【题目】如图,在菱形 ABCD 中,B 60 ,M 、N 分别为线段 AB 、BC 上的两点,且 BM CN , AN 、CM 相交于点 E 。
(1)证明: BCM ≌ CAN 。
(2)求AEM 的度数。
(3)证明: AE CE DE 。
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【题目】有大小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨,2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨?
(2)目前有33吨货物需要运输,货运公司拟安排大小货车共计10辆,全部货物一次运完,其中每辆大货车一次运费花费130元,每辆小货车一次运货花费100元,请问货运公司应如何安排车辆最节省费用?
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【题目】“珍重生命,注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时间,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)小明家到学校的路程是 米,小明在书店停留了 分钟
(2)本次上学途中,小明一共行驶了 米,一共用了 分钟.
(3)我们认为骑单车的速度超过300米分钟就超越了安全限度.问:在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快,速度在安全限度内吗?
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【题目】邮递员骑车从邮局O出发,先向西骑行2km到达A村,继续向西骑行3km到达B村,然后向东骑行8km,到达C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,用1cm表示1km,画出数轴,并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置;
(2)C村距离A村有多远?
(3)邮递员共骑行了多少km?
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