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【题目】如图,已知 AD BC 相交于 E 1 2 3, BD CD, ADB 90, CH ABH CH AD F

1)求证: CD AB

2)求证: BDE ACE

3)若O AB 中点,求证:OF= BE

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

1)有BD=CD,可得∠1=BCD,那么就有∠2=BCD,从而CDAB;

2)由∠2=3,可得BE=AE,又因为CDAB,同样可知DE=CE,根据SAS即可证出:△BDE≌△ACE;

3)由于OAB的中点,因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线,进而可得出OF=BE.根据(2)的全等三角形,可得出∠ACE=90°,因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线,来得出AF=EF

证明:(1)∵BD=CD,

∴∠BCD=1;

∵∠1=2,

∴∠BCD=2;

CDAB

2)∵CDAB,

∴∠CDA=3

∵∠BCD=2=3,

BE=AE,且∠CDA=BCD,

DE=CE

在△BDE和△ACE,

,

∴△BDE≌△ACESAS;

3)∵△BDE≌△ACE,

∴∠4=1,ACE=BDE=90°,

∴∠ACH=90°-BCH;

又∵CHAB,

∴∠2=90°-BCH;

∴∠ACH=2=1=4,

AF=CF;

∵∠AEC=90°-4,ECF=90°-ACH,

又∵∠ACH=4,

∴∠AEC=ECF;

CF=EF;

EF=AF;

OAB中点,

OF为△ABE的中位线,

OF=BE

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7

8

9

7

10

10

9

10

10

10

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8

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9

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10

10

9

10

9

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