Question

【题目】如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.

（1）试说明点D在⊙O上；

（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为⊙O的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=

【解析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；

（2）由AB=AD知AB2=ADAE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；

（3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，

∴△ABC≌△ABD，

∴∠ADB=∠C=90°，

∴点D在以AB为直径的⊙O上；

（2）∵△ABC≌△ABD，

∴AC=AD，

∵AB2=ACAE，

∴AB2=ADAE，即，

∵∠BAD=∠EAB，

∴△ABD∽△AEB，

∴∠ABE=∠ADB=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴BE是⊙O的切线；

（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，

∴AB=，

∵，

∴，

解得：DE=1，

∴BE=，

∵四边形ACBD内接于⊙O，

∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，

又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠DBE=∠BAE，

∴∠FBE=∠BAC，

又∠BAC=∠BAD，

∴∠FBE=∠BAD，

∴△FBE∽△FAB，

∴，即，

∴FB=2FE，

在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，

∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2，

整理，得：3EF2-2EF-5=0，

解得：EF=-1（舍）或EF=，

∴EF=．