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【题目】已知△ABC中,∠ABC90°,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后,点A的对应点为点D,点C的对应点为点E,直线DE与直线AC交于点F,连接FB

1)如图1,当∠BAC45°时,

①求证:DFAC

②求∠DFB的度数;

2)如图2,当∠BAC45°时,

①请依题意补全图2

②用等式表示线段FCFBFE之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)①详见解析;②45°;(2)①见解析②FCFEFB

【解析】

1)①根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE,再根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明;

证法一:先证明ADBF四点均在以AB为直径的圆上,再连接AD,证明ABD是等腰直角三角形即可;证法二:在DE上截取DG=AF,连接BG,根据SAS可证ABF≌△DBG,再利用全等三角形的性质证明GBF是等腰直角三角形,问题即得解决;

2)在CF上截取CG=EF,连接BG,利用SAS可证BCG≌△BFE,再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形,进一步即可得出结论.

1证明:如图1∵△ABC绕点B逆时针旋转90°DBE,由旋转性质得,ABC≌△DBE

∴∠1=∠2AB=DB,∠ABC=DBE=90°

∵∠1+∠C90°

∴∠2+∠C90°

∴∠DFC90°,即DFAC

解法一:如图3,连接ADDFACDBE=90°∴ ∠DFA= 90°

ADBF四点均在以AB为直径的圆上,

AB=DB DBE=90°,∴ DAB=45°

∴∠DFB=∠DAB45°

解法二:如图3,在DE上截取DG=AF,连接BG

在△ABF和△DBG中,

∴△ABF≌△DBG

BFBG,∠ABF=∠DBG

∵∠DBA90°,∴∠GBF90°

∴△GBF是等腰直角三角形,

∴∠DFB45°

2)补全图2,如图4FCFEFB

证明:如图,在CF上截取CG=EF,连接BG

在△BCG和△BFE中,

∴△BCG≌△BFE,∴BFBG,∠CBG=∠EBF,

∵∠ABC90°,∴∠GBF90°

∴△GBF是等腰直角三角形,

FCFEFCCG=.

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