【题目】已知△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后,点A的对应点为点D,点C的对应点为点E,直线DE与直线AC交于点F,连接FB.
(1)如图1,当∠BAC<45°时,
①求证:DF⊥AC;
②求∠DFB的度数;
(2)如图2,当∠BAC>45°时,
①请依题意补全图2;
②用等式表示线段FC,FB,FE之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)①详见解析;②45°;(2)①见解析②FC-FE=FB
【解析】
(1)①根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE,再根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明;
②证法一:先证明A,D,B,F四点均在以AB为直径的圆上,再连接AD,证明△ABD是等腰直角三角形即可;证法二:在DE上截取DG=AF,连接BG,根据SAS可证△ABF≌△DBG,再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形,问题即得解决;
(2)在CF上截取CG=EF,连接BG,利用SAS可证△BCG≌△BFE,再利用全等三角形的性质证明△GBF是等腰直角三角形,进一步即可得出结论.
(1)①证明:如图1,∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得△DBE,由旋转性质得,△ABC≌△DBE,
∴∠1=∠2,AB=DB,∠ABC=∠DBE=90°,
∵∠1+∠C=90°,
∴∠2+∠C=90°,
∴∠DFC=90°,即DF⊥AC;
②解法一:如图3,连接AD,∵ DF⊥AC,∠DBE=90°,∴ ∠DFA= 90°,
∴A,D,B,F四点均在以AB为直径的圆上,
∵AB=DB ,∠DBE=90°,∴ ∠DAB=45°,
∴∠DFB=∠DAB=45°;
解法二:如图3,在DE上截取DG=AF,连接BG,
在△ABF和△DBG中,
∴△ABF≌△DBG,
∴BF=BG,∠ABF=∠DBG,
∵∠DBA=90°,∴∠GBF=90°,
∴△GBF是等腰直角三角形,
∴∠DFB=45°;
(2)补全图2,如图4;FC-FE=FB.
证明:如图,在CF上截取CG=EF,连接BG,
在△BCG和△BFE中,
∴△BCG≌△BFE,∴BF=BG,∠CBG=∠EBF,
∵∠ABC=90°,∴∠GBF=90°,
∴△GBF是等腰直角三角形,
∴ ,
∴ FC-FE=FC-CG=.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当a=4时,求b的值;
(2)当a=4时,如图2,求出b的值;
(3)如图3,请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出点B的对应点B″的坐标;
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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【题目】定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】已知二次函数y =x2 + 4x + 3.
(1)将二次函数的表达式化为y = a (x-h)2 + k 的形式;
(2)在平面直角坐标系xOy中,用描点法画出这个二次函数的图象;
x | … | … | |||||
y | … | … |
(3)观察图象,直接写出当时的取值范围;
(4)根据(2)中的图象,写出一条该二次函数的性质.
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【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)求∠APB的大小.
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【题目】下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图,俗称“阴阳鱼”,该图案关于外圈大圆的圆心中心对称;
图2所示是一个正三角形内接于圆;
图3所示是一个正方形内接于圆;
图4所示是两个同心圆,其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.
这四个图案中,阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是( )
A.图1和图3B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图4
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G.
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
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【题目】某农场要建一个饲养场(长方形,饲养场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏),建成后木栏总长60米,设饲养场(长方形的宽为米.
(1)求饲养场的长(用含的代数式表示).
(2)若饲养场的面积为,求的值.
(3)当为何值时,饲养场的面积最大,此时饲养场达到的最大面积为多少?
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