Question

【题目】已知△ABC的三边长分别为a，b，c．

（1）若a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断△ABC的形状；

（2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形；（2）最大值为13；最小值为11

【解析】

（1）根据等式的性质将等式变形为2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca，然后再利用完全平方公式进行变形，然后直接根据非负数的性质即可得出结论；

（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．

解：由题意可知2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca

∴2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0

又∵

∴

∴，即a=b=c

∴△ABC为等边三角形

（2）∵a=5，b=2，且c为整数，

∴5-2＜c＜5+2，即3＜c＜7，

∴c=4，5，6，

∴当c=4时，△ABC周长的最小值=5+2+4=11；

当c=6时，△ABC周长的最大值=5+2+6=13．