Question

7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=$\frac{1}{2}$EC，求证：
（1）△ADE∽△ABC；
（2）DF•BF=EF•CF．

Answer 1

分析 （1）利用“两边及夹角”法进行证明；
（2）根据（1）可得DE∥BC，由“平行线分线段成比例”进行证明即可．

解答 证明：（1）∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC．
又∵AD：AB=1：3，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
又∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）由（1）知，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴DF•BF=EF•CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．在证明第（2）题时，也可以利用“平行线法“推知△DEF∽△CBF，由该相似三角形的对应边成比例证得结论．