Question

（本题满分10分．为方便答题，可在答卷上画出你认为必要的图形）

如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．

（1）求证：△APQ∽△CDQ；

（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC？

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）通过证明∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，根据相似三角形的判定证得△APQ∽△CDQ；

（2）当DP⊥AC时，可以证得△ADC∽△PAD，根据相似三角形的性质得=，代入数值，解得PA的长，即可得到运动时间t的值．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，

∴△APQ∽△CDQ．

（2）【解析】
当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，

∵∠ADQ+∠QCD=90°，

∴∠DCA=∠ADP，

∵∠ADC=∠DAP=90°，

∴△ADC∽△PAD，

∴=，

∴，

解得 PA=5，

∴t=5．

考点：矩形的性质；相似三角形的判定和性质．