Question

2．如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D是边AC上一点（D与A，C不重合），过点A作AE垂直AC，且满足AE=CD．交边AB于点F．
（1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论；
（2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由；
（3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出结论；
（2）根据（1）中△CBD≌△ABE可知四边形ADBE的面积不变，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）△DBE是等腰直角三角形．
理由：如图1，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠BAE=45°．
在△CBD与△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}BC=AB\\∠C=∠BAE\\ CD=AE\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，
∵∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠ABE+∠ABD=90°，
即∠BDE=90°，
即△DBE是等腰直角三角形；

（2）不变．
∵由（1）知△CBD≌△ABE，
∴S_{四边形ADBE}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）当BF=DF时，则∠BDE=∠FBD，如图1，
∵△DBE是等腰直角三角形，
∴∠BDE=45°，
∴∠FBD=45°
∴∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠ABD，
∴AD=CD，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$；
当BD=DF时，如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，
∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，
∴∠C=∠BDE，
∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，
∴∠CDB=∠ADF，
在△BCD和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAF=45°}\\{∠CBD=∠ADF}\\{BD=DF}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△DAF（AAS），
∴AD=BC=2．
∴当△BDF是等腰三角形时，AD的长为$\sqrt{2}$或2．

点评 本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键