Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为$\frac{12\sqrt{2}}{7}$和$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6，由AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD=∠EAD，推出△ABD≌△AED，得到∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，根据EM平分∠PEC，得到∠PEM=45°，根据等腰直角三角形的性质得到PE=PM，由于△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，于是得到EC′=EC=AC-AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4-x，根据tanC=tanC′=$\frac{PM}{PC′}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，得到方程$\frac{x}{4-x}=\frac{3}{4}$，求得EM=$\sqrt{2}$PM=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$；如图2根据tanC=$\frac{DE}{CE}=\frac{AB}{BC}$，得到DE=BD=3，求出CD=C′D=5然后根据tanC′=tanC=$\frac{EM}{C′E}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，求出EM=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ABD与△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED，
∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，
如图1，过M作MP⊥DE于P，
∵EM平分∠PEC，
∴∠PEM=45°，
∴PE=PM，
∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，
∴EC′=EC=AC-AE=4，
设PE=PM=x，则PC′=4-x，
∵tanC=tanC′=$\frac{PM}{PC′}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{x}{4-x}=\frac{3}{4}$，
解得：x=$\frac{12}{7}$，
∴EM=$\sqrt{2}$PM=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$；
如图2，∵tanC=$\frac{DE}{CE}=\frac{AB}{BC}$，
∴DE=BD=3，
∴CD=C′D=5，
∴C′E=2，
∵tanC′=tanC=$\frac{EM}{C′E}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$，
∴DM=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{45}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
综上所述：折痕的长度为：$\frac{12\sqrt{2}}{7}$和$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{12\sqrt{2}}{7}$和$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角函数，正确的作出图形是解题的关键．