Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；　
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）若点P是此抛物线上在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点A（2，0），B（6，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），
又∵抛物线过点C（0，2 ），
∴2=a（0-2）（0-6），
解得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）（x-6），
即y=x²-x+2；

（2）易知抛物线的对称轴是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．
连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF=，
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°，
∴劣弧EF的长为：=；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵直线AC经过点A（2，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为：y=-x+2．
设点P（m，m²-m+2）（m＜0），PG交直线AC于N，则点N坐标为（m，-m+2）．
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN，
∴分两种情况：
①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN，
即 m²-m+2=（-m+2），
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）．
当m=-3时，m²-m+2=；
∴此时点P的坐标为（-3，）；
②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；
即 m²-m+2=3（-m+2），
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）．
当m₁=-12时，m²-m+2=42．
∴此时点P的坐标为（-12，42）．
综上所述，当点P坐标为（-3，）或（-12，42）时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．
分析：（1）根据交点式可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），再将C点坐标代入，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程，联立直线OD的解析式求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数．连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形求得∠EDM的度数，由垂径定理得到∠EDF的度数，进而根据弧长计算公式求出劣弧EF的长；
（3）先用待定系数法求出直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设P点的横坐标为m，根据抛物线与直线AC的解析式得到P、N的纵坐标，进而可用含m的代数式分别表示出PN，NG的长；然后在Rt△PGA中，由于△PNA与△NGA同高，所以它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此分两种情况讨论：①△PNA的面积是△NGA面积的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA面积的，则NG=2PN；根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识，需要特别注意的是（3）题中，△PGA被直线AC所分成的两部分中，并没有明确谁大谁小，所以要分类讨论，以免漏解．