Question

19．如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，从而求得B（n+1，1-n），根据k=n×1=（n+1）（1-n）得出方程，解方程即可．

解答 解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：
则AG⊥BC，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAG=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠GAB，
在△AOE和△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠GAB}&{\;}\\{∠AOE=∠AGB=90°}&{\;}\\{AO=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAG（AAS），
∴OE=AG，AE=BG，
∵点A（n，1），
∴AG=OE=n，BG=AE=1，
∴B（n+1，1-n），
∴k=n×1=（n+1）（1-n），
整理得：n²+n-1=0，
解得：n=$\frac{-1\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），
∴n=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．