Question

如图，矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥DC，CE交BD于F．
（1）求证：DB=DC；
（2）求证：BD平分∠CDE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）易证GD=AD，即可证明△CDG≌△BDA，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）延长ED，CG交于点H，易证△DGH≌△DAE，可得DE=DH，即可求得CD垂直平分HE，可得∠DCE=22.5°，即可求得∠BDC的值，即可解题．

解答：证明：（1）∵点D是AG的中点，
∴GD=AD，
在△CDG和△BDA中，

CG=AB ∠CGD=∠BAD=90° GD=AD

，
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴BD=CD；
（2）延长ED，CG交于点H，

在△DGH和△DAE中，

∠HGD=∠EAD=90° DG=DA ∠GDH=∠ADE

，
∴△DGH≌△DAE（ASA），
∴DE=DH，
∵DE⊥CD，
∴CD垂直平分HE，
∴∠DCG=∠DCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=45°，
∴∠DCE=22.5°，
∴∠BCD=45°+22.5°=67.5°，
∵CD=BD，
∴∠BCD=∠CBD，
∴∠BDC=180°-2∠BCD=45°，
∴BD平分∠CDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了线段垂直平分线的性质，本题中求证△CDG≌△BDA和△DGH≌△DAE是解题的关键．