Question

【题目】已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，一次函数y＝kx＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）

（1）求抛物线的解析式；

（2）若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；

（3）若k＝﹣2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；（2）k＝﹣4；（3）P（1，）

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式得到关于b、c的方程组，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根据题意得到一次函数的解析式为y=kx－3k，当直线l与抛物线只有一个公共点时，方程kx－3k=-x2＋2x＋3有两个相等的实数根，进而得到（k－2）2＋4（3k＋3）=0，解关于k的方程即可；
（3）过C点作CH⊥PD于H，根据题意得到n=（-2m＋2）m＋b，n=-m2＋2m＋3，即可得到b=m2＋3，所以直线l为y=（-2m＋2）x＋m2＋3，由对称轴为x=1，求得D为（1，8－n），设P（1，p），则PD=8－n－p，HC=m－1，PH=p－n，在Rt△PCH中，PC=PD=8－n－p，根据勾股定理得到（8－n－p）2=（p－n）2+（m－1）2，变形得到（8－2n）（8－2p）=m2－2m＋1，进一步得到2（4－n）（8－2p）=4－n，即2（8－2p）=1，求得p的值，即可得到P的坐标．

（1）∵抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴，

解得．

所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；

（2）∵抛物线上的点C（m，n），

∴n＝﹣m2＋2m＋3，

当m＝3时，n＝0，

∴C（3，0），

∴一次函数y＝kx＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n），

∴3k＋b＝0，

∴b＝﹣3k，

∴一次函数的解析式为y＝kx﹣3k，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴方程kx﹣3k＝﹣x2＋2x＋3有两个相等的实数根，

∴（k﹣2）2＋4（3k＋3）＝0，

解得k＝﹣4；

（3）如图，过C点作CH⊥PD于H，

C（m，n）在直线y＝kx＋b上，

∴n＝（﹣2m＋2）m＋b，

∵点C在抛物线上，

∴n＝﹣m2＋2m＋3，

∴b＝m2＋3，

∴直线l为y＝（﹣2m＋2）x＋m2＋3，

∵直线l与抛物线的对称轴相交于点D，

∴D的横坐标为1，代入得：y＝﹣2m＋2＋m2＋3＝8﹣（﹣m2＋2m＋3）＝8﹣n，

∴D（1，8﹣n），

设P（1，p），则PD＝8﹣n﹣p，HC＝m﹣1，PH＝p﹣n，

在Rt△PCH中，PC＝PD＝8﹣n﹣p，

∴（8﹣n﹣p）2＝（p﹣n）2＋（m﹣1）2

∴（8﹣n﹣p）2﹣（p﹣n）2＝（m﹣1）2，

∴（8﹣2n）（8﹣2p）＝m2﹣2m＋1，

∵n＝﹣m2＋2m＋3，

∴2（4﹣n）（8﹣2p）＝4﹣n，

∵k＝﹣2m＋2≠0，

∴m≠1，

∴n≠4，

∴4﹣n≠0，

∴2（8﹣2p）＝1，

∴p＝，

∴P（1，）．