Question

1．如图，BD是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，直线AE交BD的延长线于点A，BC⊥AE于C，且∠CBE=∠DBE
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，AE=4$\sqrt{2}$．求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，则OB=OE，即可得出∠OBE=∠OEB，再由已知得出∠OEB=∠CBE，则OE∥BC，从而证出OE⊥AC；
（2）通过相似三角形△ADE∽△AEB的对应边成比例来求DE的长度．

解答 解：（1）连接OE．
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠CBE=∠DBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）由（1）知，OE⊥AC．
在直角△AEO中，AE=4$\sqrt{2}$，OE=2，AO=AD+2，则由勾股定理得到：AE²+OE²=AO²，即32+4=（AD+2）²，
解得 AD=4（舍去负值）．
则AB=AD+4=10，AO=AD+2=8．
∵OE∥BC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8}{10}$=$\frac{2}{BC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}+EC}$，则BC=$\frac{5}{2}$，EC=$\sqrt{2}$．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得到：BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{25}{4}}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．
又∵∠A=∠A，∠AED=∠ABE，
∴△ADE∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{10}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{33}}{2}}$，
解得 DE=$\frac{\sqrt{66}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．