Question

16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD，且∠ADB=∠E．
（1）求证：AB=AC；
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB=AC，可以通过∠C=∠ABC来推知．利用圆周角定理和平行线的性质进行证明即可；
（2）根据切线的定义知：当AD⊥ED时，DE是⊙O的切线；
（3）如备用图，连接AO并延长交BC于F，连接OB，OC．构建直角△ABF、△OBF．在这两个直角三角形中利用勾股定理来求⊙O的半径．

解答 解：（1）证明：∵∠ADB与∠C都是$\widehat{AB}$所对的圆周角，
∴∠ADB=∠C．
又∵∠ADB=∠E，
∴∠C=∠E．
又∵DE∥BC，
∴∠E=∠ABC，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）当D运动到$\widehat{BC}$的中点时，DE是⊙O的切线，理由如下：
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=CD，AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AD是直径且AD⊥BC，
∴AD过圆心O．
又∵DE∥BC，
∴AD⊥ED，
∴DE是⊙O的切线；

（3）如备用图，连接AO并延长交BC于F，连接OB，OC．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3．
在直角△ABF中，由勾股定理可得　AF=4．
设⊙O的半径为r，在直角△OBF中，OB=r，BF=3，OF=4-r，
∴r²=3²+（4-r）²，
解得　r=$\frac{25}{8}$，
∴⊙O的半径是$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定和勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．