Question

6．如图所示，已知在△ABC中，A（0，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，使B₁、B₂、B₃、…在x轴上，A₁、A₂、A₃、…在BC边上，则第n个等边三角形的边长等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n-1}}$
• C． $\frac{3}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{3}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 根据题目已知条件可推出，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，依此类推，可求得第n个等边三角形的边长．

解答 解：∵OB=$\sqrt{3}$，OC=1，
∴BC=2，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
∵△AA₁B₁为等边三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，
∴∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理得：B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
故选A．

点评 本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，等边三角形的性质及解直角三角形，解题的关键是通过计算，发现边长的规律．