Question

【题目】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）解：设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1，

∵y1=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），

∴

∴ ，

∴这个一次函数的表达式为；y1=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；

（3）解：设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，

∵经过点（0，120）与（130，42），

∴ ，

解得： ，

∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，

∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，

由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，

∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

【解析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．