Question

9．等腰△ABC中，AB=AC，△ABD、△ACE都是等边三角形，直线BD、CE交于点O，直线AO、BC交于点F．

（1）如图1，当点D在AB左侧，点E在AC右侧时，∠AFC=90°（不用证明）
（2）如图2，当点D在AB右侧，点E在AC左侧时，求证：∠AFC=90°
（3）如图3，当点D在AB左侧，点E在AC左侧时，求∠AFC的度数．

Answer 1

分析 （1）由图形即可得出结论；
（2）通过不断的寻找全等三角形来寻找∠BAF=∠CAF这个条件，通过三次全等三角形的证明可得出此结论；
（3）同（2）的道理，通过三次全等三角形的证明，得出∠EAO=∠BAO，从而由边角关系求出∠AFC的度数．

解答 解：（1）根据已知条件可证得△ABF≌△ACF，可得知∠AFB=∠AFC，
∴∠AFC=90°．
故答案为：90°
（2）证明：连接BD，CE，如图1．

∵等腰△ABC中，AB=AC，△ABD、△ACE都是等边三角形，
∴AE=AC=AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△EAB和△DAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=∠ACD+∠ACB=∠DCB，
在△BCE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB=∠DBC，
∴OB=OC，
在△ABO和△ACO，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF⊥BC．
证毕．
（3）令AE与BD的交点为M，AB与CE的交点为N，如图2，

∵∠CAN=60°-∠MAN=∠DAM，
∴在△ADM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠DAM}\\{AD=AB=AC}\\{∠ADM=∠ACN=60°}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN，
又∵AE=AC=AB，
∴ME=NB，
在△EOM和△BON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEO=∠NBO=60°}\\{∠MOE=∠NOB}\\{ME=NB}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
在△AMO和△ANO中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AO=AO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ANO，
∴∠MAO=∠NAO，
∴∠BAC=60°-∠MAN=60°-2∠NAO，
∵AB=AC，
∴∠ACB=（180°-∠BAC）÷2=（180°-60°+2∠NAO）÷2=60°+∠NAO，
又∵∠ABC=∠AFB+∠NAO=∠ACB，
∴∠AFB=60°

点评 本题考查的全等三角形的证明，（2）解题的关键是通过证三角形全等得出∠BAF=∠CAF，从而得出结论；（3）解题的关键是通过证三角形全等得出∠MAO=∠NAO，再利用三角形内角和为180°和三角形外角等于不相邻的两内角和得出结论．