Question

9．如图．⊙O的半径为5，AB为⊙O直径，C，F为⊙O上的两点，AF，AC为⊙O的弦．
（1）如图①，若点F，C把半圆三等分，求AC的长；
（2）如图②，若C为$\widehat{FB}$的中点，过点C做⊙O的切线，与AF的延长线相交于点D，DC=4，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）若点F、C将圆三等分，则∠AOC=120°，过点O作OE⊥AC于点E，利用含30度的直角三角形的性质即可求出AC的长度．
（2）连接BF、CB，OC，由于CD是⊙O的切线，所以OC∥AD，

解答 解：（1）当F、C把圆三等分后，
此时∠AOC=120°，
过点O作OE⊥AC于点E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理可知：AE=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
由垂径定理可知：AC=2AE=5$\sqrt{3}$，
（2）连接BF、CB，
连接OC角BF于点E，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵点C平分$\widehat{FB}$，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∴∠D=90°，
过点C作CH⊥AB于点H，
∴DC=HC=4，
由勾股定理可知：OH=3，
∴AH=OH+OA=8，
∴由勾股定理可知：AC²=80
∴△ADC∽△ACB
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD
∴AD=8
∵点C平分$\widehat{FB}$，
∴由垂径定理可知OC⊥BF
∴∠CEB=∠CHB=90°
∴∠OCH=∠OBE
在△COH与△EBO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHC=∠BEO}\\{∠OCH=∠OBE}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△EBO（AAS）
∴CH=EB=4，OH=OE=3，
∴AF=2OE=6，
∴DF=AD-AF=2

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理等知识，题目较为综合，本题属于中等题型．