Question

20．阅读与思考
婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN=DN．
证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴…
（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．
（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为1．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质∠BAP=∠BPM．由圆周角定理得出∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．证出∠DPN=∠PDN，得出DN=PN，同理CN=PN，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形内角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由AAS证明△CPD≌△APB，得出CD=AB=2，同（1）得出CN=DN，由三角形内角和定理得出PN=$\frac{1}{2}$CD=1即可．

解答 解：（1）在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴∠DPN=∠PDN，
∴DN=PN，
同理：CN=PN，
∴CN=DN；
（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠CPD=90°，
在△CPD和△APB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPD=∠APB}&{\;}\\{∠D=∠B}&{\;}\\{PC=PA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CPD≌△APB（AAS），
∴CD=AB=2，
∵∠CPD=90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，
∴同（1）得：CN=DN，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD=1；
故答案为：1．

点评 本题考查了等腰三角形的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的判定是解决问题的关键．