Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，下面四个结论：①$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$；②点F是GE的中点；③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；④S_△ABC=6S_△BDF．其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 首先根据题意易证得△ABG≌△BCD（ASA），则AG=BD，AG=$\frac{1}{2}$AB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$；正确；继而可得FG=$\frac{1}{2}$BF；即可得AF=$\frac{1}{3}$AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，即可求得AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；则可得S_△ABC=6S_△BDF．

解答 解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
在△ABG和△BCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠CBD}\\{AB=BC}\\{∠ABG=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
则AG=BD，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AG}{CB}$=$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
故①正确；
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
故③正确；
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{3}$AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故④正确．
故答案为：①③④．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．