Question

16．在Rr△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．
（1）求证：OD=OE；
（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）若CD=2CE，求DP的长度．

Answer 1

分析 （1）证明△ADO≌△CEO，可得OD=OE；
（2）先根据对角互补证明D、C、E、O四点共圆，再得△DPO∽△CPE，列比例式可得：PD•EP=CP•PO，设CP=x，则OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-x，则CP•PO=x（$\frac{\sqrt{2}}{2}-x$）=-${x}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x$，根据二次函数的最值问题得出DP•EP存在最大值为$\frac{1}{8}$；
（3）设CE=a，则CD=2a，根据AC=1列等式求出，a=$\frac{1}{3}$，则CE=$\frac{1}{3}$，CD=$\frac{2}{3}$，根据勾股定理求DE的长，作辅助线构建平行线，得相似，列比例式可求得DP的长．

解答 证明：（1）∵AC=BC=1，点O为AB的中点，
∴CO⊥AB，CO=AO，
∴∠COA=90°，
∴∠DOP+∠AOD=90°，
∵DO⊥OE，
∴∠DOP+∠POE=90°，
∴∠AOD=∠POE，
同理∠A=∠OCE，
∴△ADO≌△CEO，
∴OD=OE；
（2）∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，
∴∠ACB+∠DOE=180°，
∴D、C、E、O四点共圆，
∴∠ODP=∠PCE，∠DPO=∠CPE，
∴△DPO∽△CPE，
∴$\frac{PD}{CP}=\frac{PO}{PE}$，
∴PD•EP=CP•PO，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{2}$，
∴CO=AO=BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设CP=x，则OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-x，
则CP•PO=x（$\frac{\sqrt{2}}{2}-x$）=-${x}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}x$=-（x-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²+$\frac{1}{8}$，
即当x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，CP•PO有最大值为$\frac{1}{8}$，
也就是DP•EP存在最大值为$\frac{1}{8}$；
（3）设CE=a，则CD=2a，
由（1）得：AD=CE=a，
∵AC=1，
∴a+2a=1，
a=$\frac{1}{3}$，
∴CE=$\frac{1}{3}$，CD=$\frac{2}{3}$，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
过P作PG∥BC，交AC于G，
∵∠DCO=45°，
∴PG=CG，
∵PG∥CE，
∴△DGP∽△DCE，
∴$\frac{PG}{CE}=\frac{DG}{DC}$=$\frac{PD}{DE}$，
∴$\frac{PG}{\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{2}{3}-PG}{\frac{2}{3}}$=$\frac{PD}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$，
∴PG=$\frac{2}{9}$，PD=$\frac{2\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等、相似的性质和判定、四点共圆的性质和判定、勾股定理等知识，与二次函数相结合，利用二次函数的最值求线段乘积的最大值，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法．