Question

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB=EF．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CD=1，cos∠AEB=$\frac{3}{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由∠OBC=∠OCB、∠EBC=∠EFB=∠AFC，根据∠AFC+∠OCB=90°可得∠EBC+∠OBC=90°，即可得证；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中根据cos∠AOD=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$可得r=$\frac{5}{2}$，由cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{3}{5}$知AE=$\frac{5}{3}$BE，Rt△ABE中，根据勾股定理有（$\frac{5}{3}$BE）²=BE²+5²，解之可得．

解答 解：（1）∵B、C在⊙O上，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵EF=EB，
∴∠EBC=∠EFB，
又∵∠AFC=∠EFB，
∴∠AFC=∠EBC，
∵AE⊥OC，
∴∠AFC+∠OCB=90°，
∴∠EBC+∠OBC=90°，即BE⊥OB，
又OB是⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，
又CD=1，
∴OD=r-1，
∵∠AOD+∠EAB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠AOD=∠AEB，
∴cos∠AOD=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$，
∴在Rt△AOD中，cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，
解得：r=$\frac{5}{2}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=5，
在Rt△AEB中，cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{3}$BE，
又AE²=AB²+BE²，即（$\frac{5}{3}$BE）²=BE²+5²，
解得：BE=$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查切线的判定与勾股定理及三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理、三角函数的应用是解题的关键．