Question

如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），
（1）试说明∠BOA=90°+∠C；
（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）理由：∵△ABC中，AE、BF是角平分线，
∴∠BOA=180°-（∠CAB+∠CBA），
∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C，
∴∠BOA=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C；

（2）关系：∠DAE=（∠ABC-∠C）．
理由：∵∠CAB=180°-∠C-∠ABC，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=（180°-∠C-∠ABC），
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°，
∠C+∠CAE=∠AED，
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-[∠C+（180°-∠C-∠ABC）]，
=（∠ABC-∠C）．
分析：（1）先利用三角形内角和定理可求∠BOA=180°-（∠CAB+∠CBA），以及∠CAB+∠CBA=180°-∠C，即可得出∠BOA=180°-（180°-∠C）整理得出即可；
（2）根据角平分线定义可求∠CAE=∠BAE=（180°-∠C-∠ABC），然后利用三角形外角性质，可先求∠AED，再次利用三角形外角性质，容易求出∠DAE即可．
点评：此题主要考查了三角形外角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAD，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键．