【题目】我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图,图一是“杨辉三角”数阵,其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和;图二是二项和的乘方(a+b)n的展开式(按b的升幂排列).经观察:图二中某个二项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得:(s+x)15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15
依上述规律,解决下列问题:(1)若s=1,则a2=___;(2)若s=2,则a0+a1+a2+…+a15=___.
【答案】(1)105; (2)315.
【解析】
(1)根据图形中的规律即可求出(1+x)15的展开式中第三项的系数为前14个数的和;
(2)根据x的特殊值代入要解答,即把x=1代入时,得到结论.
(1)由图2知:(a+b)1的第三项系数为0,
(a+b)2的第三项的系数为:1,
(a+b)3的第三项的系数为:3=1+2,
(a+b)4的第三项的系数为:6=1+2+3,
…
∴发现(1+x)3的第三项系数为:3=1+2;
(1+x)4的第三项系数为6=1+2+3;
(1+x)5的第三项系数为10=1+2+3+4;
不难发现(1+x)n的第三项系数为1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1),
∴s=1,则a2=1+2+3+…+14=105.
故答案为:105;
(2)∵(s+x)15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15.
当x=1时,a0+a1+a2+…+a15=(2+1)15=315,
故答案为:315.
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【题目】建国七十周年到来之际,海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动,为了使活动更具有针对性,学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,要求学生在“教育.科技.国防.农业.工业”五类书籍中,选取自己最想读的一种(必选且只选一种),学校将收集到的调查结果适当整理后,绘制成如图所示的不完整的统计图,请根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)如果海庆中学共有1500名学生,请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名?
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【题目】如图,中,,一同学利用直尺和圆规完成如下操作:
①以点为圆心,以为半径画弧,角于点;分别以点、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交点,作射线;
②以点为圆心,以适当的长为半径画弧,交于点,交的延长线于点;分别以点、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点,作直线交的延长线于点,交射线于点.
请你观察图形,根据操作结果解答下列问题;
(1)线段与的大小关系是__________.
(2)过点作交的延长线于点,若,,求的值.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC=BC,CD是⊙O的直径,与AB相交于点G,过点D作EF∥AB,分别交CA、CB的延长线于点E、F,连接BD.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:BD2=ACBF.
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【题目】小慧家与文具店相距,小慧从家出发,沿笔直的公路匀速步行来到文具店买笔记本,停留因家中有事,便沿着原路匀速跑步返回家中.
小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少?
请你画出这个过程中,小慧离家的距离与时间的函数图象;
根据图象回答,小慧从家出发后多少分钟离家距离为
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【题目】某种机器使用若干年后即被淘汰,该机器有一易损零件,为调查该易损零件的使用情况,随机抽取了100台已被淘汰的这种机器,经统计:每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8,9,10,11这四种情况,并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数,绘制成如图所示不完整的条形统计图.
(1)请补全该条形统计图;
(2)某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件,用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率.
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率;
②若在购买机器的同时购买该易损零件,则每个200元;若在使用过程中,因备用该易损零件不足,再购买,则每个500元.请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策:购买机器的同时应购买几个该易损零件,可使公司的花费最少?
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【题目】如图,以的直角边为直径的交斜边于点,过点作的切线与交于点,弦与垂直,垂足为.
求证:为的中点;
(2)若的面积为,两个三角形和的外接圆面积之比为,求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比.
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【题目】思维启迪:(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米,那么A,B间的距离是 米.
思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.
①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ;
②如图3,当α=90°时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
③当α=150°时,若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.
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【题目】如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线AC上一动点(不与A、C两点重合),连接BP,过点P作PE⊥PB交直线CD于点E,连接BE,MN//BC分别交AB、DC于点M、N.设.
(1)当点E在CD边上时,线段PE于线段PB有怎样的数量关系?试证明你的结论.
(2)设以点B,C,P,E为顶点的四边形的面积为y,试确定y与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
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