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【题目】思维启迪:(1)如图1AB两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量AB间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点CCDABAP的延长线于点D,此时测得CD200米,那么AB间的距离是   米.

思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,ACBCAEDE,且AEAC,∠ACB=∠AED90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点EAC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PCPE

①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PCPE的数量关系和位置关系分别是   

②如图3,当α90°时,点D落在AB边上,请判断PCPE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;

③当α150°时,若BC3DEl,请直接写出PC2的值.

【答案】1200;(2)①PCPEPCPE;②PCPE的数量关系和位置关系分别是PCPEPCPE,见解析;③PC2.

【解析】

1)由CDAB,可得∠C=∠B,根据∠APB=∠DPC即可证明△ABP≌△DCP,即可得ABCD,即可解题.

2)①延长EPBCF,易证△FBP≌△EDPSAS)可得△EFC是等腰直角三角形,即可证明PCPEPCPE

②作BFDE,交EP延长线于点F,连接CECF,易证△FBP≌△EDPSAS),结合已知得BFDEAE,再证明△FBC≌△EACSAS),可得△EFC是等腰直角三角形,即可证明PCPEPCPE

③作BFDE,交EP延长线于点F,连接CECF,过E点作EHACCA延长线于H点,由旋转旋转可知,∠CAE150°,DEBC所成夹角的锐角为30°,得∠FBC=∠EAC,同②可证可得PCPEPCPE,再由已知解三角形得∴EC2CH2+HE2,即可求出

1)解:∵CDAB,∴∠C=∠B

在△ABP和△DCP中,

∴△ABP≌△DCPSAS),

DCAB

AB200米.

CD200米,

故答案为:200

2)①PCPE的数量关系和位置关系分别是PCPEPCPE

理由如下:如解图1,延长EPBCF

同(1)理,可知∴△FBP≌△EDPSAS),

PFPEBFDE

又∵ACBCAEDE

FCEC

又∵∠ACB90°,

∴△EFC是等腰直角三角形,

EPFP

PCPEPCPE

PCPE的数量关系和位置关系分别是PCPEPCPE

理由如下:如解图2,作BFDE,交EP延长线于点F,连接CECF

同①理,可知△FBP≌△EDPSAS),

BFDEPEPF

DEAE

BFAE

∵当α90°时,∠EAC90°,

EDACEABC

FBAC,∠FBC90

∴∠CBF=∠CAE

在△FBC和△EAC中,

∴△FBC≌△EACSAS),

CFCE,∠FCB=∠ECA

∵∠ACB90°,

∴∠FCE90°,

∴△FCE是等腰直角三角形,

EPFP

CPEPCPEP

③如解图3,作BFDE,交EP延长线于点F,连接CECF,过E点作EHACCA延长线于H点,

α150°时,由旋转旋转可知,∠CAE150°,DEBC所成夹角的锐角为30°,

∴∠FBC=∠EACα150°

同②可得△FBP≌△EDPSAS),

同②△FCE是等腰直角三角形,CPEPCPEP

RtAHE中,∠EAH30°,AEDE1

HEAH

又∵ACAB3

CH3+

EC2CH2+HE2

PC2

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x(元)

15

20

30

y(袋)

25

20

10

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