【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P是第一象限抛物线上的一个动点.
(1)求直线DE和抛物线的表达式;
(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN=2,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.
【答案】(1)y=x﹣1,y=x2+x+2;(2)P(2,3)或(,);(3)N(,).
【解析】
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式,即可求解;
(2)S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO,即可求解;
(3)过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,即可求解.
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式得:,解得:
,故抛物线的表达式为:y=x2+x+2,
同理可得直线DE的表达式为:y=x﹣1…①;
(2)如图1,连接BF,过点P作PH∥y轴交BF于点H,
将点FB代入一次函数表达式,
同理可得直线BF的表达式为:y=+1,
设点P(x,),则点H(x,+1),
S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO=2+2()=7,
解得:x=2或,
故点P(2,3)或(,);
(3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P(2,3),
过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,
∵MN=2,相当于向上、向右分别平移2个单位,故点A′(1,2),
A′A″⊥DE,则直线A′A″过点A′,则其表达式为:y=﹣x+3…②,
联立①②得x=2,则A′A″中点坐标为(2,1),
由中点坐标公式得:点A″(3,0),
同理可得:直线AP″的表达式为:y=﹣3x+9…③,
联立①③并解得:x=,即点M(,),
点M沿BD向下平移2个单位得:N(,).
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PD=,求⊙O的直径.
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【题目】某工程队修建一条长1200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米?
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几?
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【题目】设△ABC的面积为1.
如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1=.
如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;
如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;
…
按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,…,得到四边形CDnEnFn,其面积S= .
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【题目】如图AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,BP与⊙O相交于点D,C为⊙O上的一点,分别连接CB、CD,∠BCD=60°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若AB=6,求PD的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,P是直线y=2上的一个动点,⊙P的半径为1,直线OQ切⊙P于点Q,则线段OQ取最小值时,Q点的坐标为_____.
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【题目】垃圾分类问题受到全社会的广泛关注,我区某校学生会向全校2100名学生发起了“垃圾要回家,请你帮助它”的捐款活动,用于购买垃圾分类桶.为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如图统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图1中m的值是 ;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为5元的学生人数.
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