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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+2a0)与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E32),点P是第一象限抛物线上的一个动点.

1)求直线DE和抛物线的表达式;

2)在y轴上取点F01),连接PFPB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;

3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点MN(点M在点N的上方),且MN2,动点Q从点P出发,沿PMNA的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.

【答案】1yx1yx2+x+2;(2P23)或();(3N).

【解析】

1)将点DE的坐标代入函数表达式,即可求解;

2S四边形OBPFSOBF+SPFB×4×1+×PH×BO,即可求解;

3)过点MAMAN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,即可求解.

1)将点DE的坐标代入函数表达式得:,解得:

,故抛物线的表达式为:yx2+x+2

同理可得直线DE的表达式为:yx1…①;

2)如图1,连接BF,过点PPHy轴交BF于点H

将点FB代入一次函数表达式,

同理可得直线BF的表达式为:y+1

设点Px),则点Hx+1),

S四边形OBPFSOBF+SPFB×4×1+×PH×BO2+2)=7

解得:x2

故点P23)或();

3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P23),

过点MAMAN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,

MN2,相当于向上、向右分别平移2个单位,故点A′(12),

AA″⊥DE,则直线AA″过点A′,则其表达式为:y=﹣x+3…②,

联立①②得x2,则AA″中点坐标为(21),

由中点坐标公式得:点A″(30),

同理可得:直线AP″的表达式为:y=﹣3x+9…③,

联立①③并解得:x,即点M),

M沿BD向下平移2个单位得:N).

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