Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点d（﹣6，﹣6），连接AD，BD．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于　 　．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或 ，点 或 或（﹣3，0）或 ；（3） .

【解析】

（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x﹣2）（x+3），将点D坐标代入上式即可求解；

（2）分∠MAB＝∠BAD、∠MAB＝∠BDA，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；

（3）QH＝PHcos∠PQH＝，即可求解．

解：（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x﹣2）（x+3），

将点D坐标代入上式并解得：a＝，

故函数的表达式为：y＝…①，

则点C（0，）；

（2）由题意得：AB＝5，AD＝10，BD＝3 ，

①当∠MAB＝∠BAD时，

当∠NMA＝∠ABD时，△AMN∽△ABD，

则tan∠MAB＝tan∠BAD＝，

则直线MA的表达式为：y＝﹣x+b，

将点A的坐标代入上式并解得：b＝，

则直线AM的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝0或2（舍去2），

即点M与点C重合，则点M（0，2），则AM＝2，

∵△AMN∽△ABD，∴，解得：AN＝4，

故点N（2﹣4，0）；

当∠MN′A＝∠ABD时，△ANM∽△ABD，

同理可得：点N′（2﹣，0），

即点M（0，），点N（2﹣4，0）或（2﹣，0）；

②当∠MAB＝∠BDA时，

同理可得：点M（﹣1，），点N（﹣3，0）或（﹣，0）；

故：点M（0，）或（﹣1，）， 点N（2﹣4，0）或（2﹣，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）；

（3）如图所示，连接PH，

由题意得：tan∠PQH＝，则cos∠PQH＝，

则直线BD的表达式为：y＝x﹣，

设点P（x，），则点H（x，），

则QH＝PHcos∠PQH＝PH＝）＝，

∵＜0，故QH有最大值，当x＝﹣2时，其最大值为．