Question

8．定义：对于任意一个不为1的有理数a，把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如2的差倒数为$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数为$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．记${a_1}=\frac{1}{2}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂=2；a₂₀₁₅=2．

Answer 1

分析 首先根据a₁=$\frac{1}{2}$，可得a₂=$\frac{1}{1{-a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，a₃=$\frac{1}{1{-a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，${a}_{4}=\frac{1}{1{-a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，…，所以这列数是$\frac{1}{2}$、2、-1、$\frac{1}{2}$、2、-1、…，每3个数是一个循环；然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a₂₀₁₅的值是多少即可．

解答 解：因为a₁=$\frac{1}{2}$，
所以a₂=$\frac{1}{1{-a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
a₃=$\frac{1}{1{-a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，
${a}_{4}=\frac{1}{1{-a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，
…，
所以这列数是$\frac{1}{2}$、2、-1、$\frac{1}{2}$、2、-1，…，每3个数是一个循环，
因为2015÷3=671…2，
所以a₂₀₁₅=2．
故答案为：2、2．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是$\frac{1}{2}$、2、-1、$\frac{1}{2}$、2、-1，…，每3个数是一个循环．