Question

15．如图所示，△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，且∠ABD是锐角，点E在射线AC的左侧，且∠ACE与∠ABD互补，BD=CE，DE与BC相交于点F．
求证：DF=FE．

Answer 1

分析 根据互补和三角形内角和得出∠CGE=∠BCE，再利用AAS证明△BDF与△GEF全等即可求解．

解答 证明：过点E作EG∥BD交BC于点G，

∴∠BGE=∠DBC=∠ABD+∠ABC，
∴∠CGE+∠BGE=∠CGE+∠ABD+∠ABC=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACE与∠ABD互补，
∴∠ACE+∠ABD=∠ACB+∠BCE+∠ABD=∠ABC+∠BCE+∠ABD=180°，
∴∠CGE=∠BCE，
∴EG=EC，
∵BD=EC，
∴BD=EG，
在△BDF与△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠GFE}\\{∠DBC=∠BGE}\\{BD=EG}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△GEF（AAS），
∴DF=FE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证明△BDF与△GEF全等．