Question

10．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（3，5），要在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，则点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，0）．

Answer 1

分析 因为AB的长度是确定的，故△PAB的周长最小就是PA+PB的值最小，因为3＞5，所以点P在y轴上，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，求出P点坐标即可．

解答 解：∵线段AB的长度是确定的，
∴△PAB的周长最小就是PA+PB的值最小，
∵3＜5，
∴点P在y轴上，
如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，1），
∴A′（-1，1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{-k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1\\;}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=x+2，
当x=0时，y=2，
∴P（0，2）．
A′B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$；
如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，1），
∴A′（1，-1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=5}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=3x-4，
当y=0时，x=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，0）．
A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{10}$．
∵4$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{10}$．
故答案为：（$\frac{4}{3}$，0）

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．