Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。

又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°。

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C。

∴AE=BE，BE=BC。∴AE=BC。

（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；

由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中， ，

∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′。

（3）存在CE′∥AB。

由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°。

∴α=∠CAM=36°。

②当点E的像E′与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°。

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。

∴当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB。

【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．

试题解析：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中

，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②当点E的像E′与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．