Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．

（1）填空：AC= cm；

（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求t的值；

（3）当t为何值时，△BPC为等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）8；（2）t=1.5;（3）3s或6s或5.4s或 6.5s.

【解析】

（1）根据勾股定理直接求解即可;

（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10-6=4cm，根据题意可得PC=2t cm，则PA=（8-2t）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

由勾股定理可得: ,

故答案为:8.

（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，

∵BP平分∠CBA，

∴PD=PC．

在Rt△BPD与Rt△BPC中，

PD＝PC ,BP＝BP ，

∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），

∴BD=BC=6 cm，

∴AD=10-6=4 cm．

由题意可得PC=2t cm，则PA=（8-2t）cm ,

在Rt△APD中，PD2+AD2=PA2，

即(2t)2+42=（8-2t）2，

解得：t=1.5，

∴当t=1.5秒时，BP平分∠CBA；

（3）如图，

若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有3种情况：

① 如图，

若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为6s，故t=6s时△BCP为等腰三角形；

② 如图，

若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm， 所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，

∴t的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；

③ 如图，

若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC,

∴PA=PB=5cm,

∴P的路程为13cm，所以时间为6.5s时，△BCP为等腰三角形．

∴t=3s或6s或5.4s或 6.5s 时△BCP为等腰三角形．