Question

【题目】已知抛物线y＝kx2+（1﹣2k）x+1﹣3k与x轴有两个不同的交点A、B．

（1）求k的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点M，并求出点M的坐标；

（3）当＜k≤8时，由（2）求出的点M和点A，B构成的△ABM的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的k值．

Answer 1

【答案】（1）且；（2）见解析，M(3,4) ；（3）△ABM的面积有最大值，

【解析】

（1）根据题意得出△=（1-2k）2-4×k×（1-3k）=（1-4k）2＞0，得出1-4k≠0，解不等式即可；
（2）y= k（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与k无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；
（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=||，由已知条件得出，得出0＜||≤，因此|AB|最大时，||=，解方程即可得到结果.

解：（1）当时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；

当时，抛物线与轴相交于不同的两点、，

△，

，

，

∴k的取值范围为且；

（2）证明：抛物线，

，

抛物线过定点说明在这一点与k无关，

显然当时，与k无关，

解得：或，

当时，，定点坐标为；

当时，，定点坐标为，

∴M不在坐标轴上，

；

（3），

，

，

，

，

，

最大时，，

解得：，或（舍去），

当时，有最大值，

此时的面积最大，没有最小值，

则面积最大为：．