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【题目】如图,抛物线a≠0)的图象与x轴交于AB两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(40).

1)求抛物线的解析式;

2)试探究ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;

3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.

【答案】1;(2)(0);(34M2,﹣3).

【解析】试题分析:方法一

1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.

3MBC的面积可由SMBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M

方法二:

1该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.

2)通过求出ABC三点坐标,利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出ACBC,从而求出圆心坐标.

3)利用三角形面积公式,过M点作x轴垂线,水平底与铅垂高乘积的一半,得出MBC的面积函数,从而求出M点.

试题解析:解:方法一

1)将B40)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a×42,即:a=抛物线的解析式为:

2)由(1)的函数解析式可求得:A﹣10)、C0﹣2);

OA=1OC=2OB=4,即:OC2=OAOB,又:OCAB∴△OAC∽△OCB,得:OCA=∠OBC

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°∴△ABC为直角三角形,ABABC外接圆的直径;

所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(0).

3)已求得:B40)、C02),可得直线BC的解析式为:y=x2

设直线lBC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:

x+b=,即: ,且=0

42b=0,即b=4

直线ly=x4

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:

M2﹣3).

M点作MNx轴于NSBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=×2×2+3+×2×3×2×4=4

方法二:

1)将B40)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a×42,即:a=抛物线的解析式为:

2y=x4)(x+1),A10),B40).C02),KAC= =2KBC= =KAC×KBC=1ACBC∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,ABC的外接圆的圆心是AB的中点,ABC的外接圆的圆心坐标为(0).

3)过点Mx轴的垂线交BCHB40),C02),lBCy=x2,设Ht t2),Mt ),SMBC=×HYMY)(BXCX=×t2)(40=t2+4tt=2时,S有最大值4M23).

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气温分组

划记

频数

12≤x17

3

17≤x22

10

22≤x27

5

27≤x32

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