Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，CE=2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】

（1）连结OC，如图，先根据切线的性质得∠BAD=90°，再根据平行线的性质，由OD∥BC得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，接着证明△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；

（2）设半径为r，则OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，再利用正切函数求出∠COE=60°，然后根据扇形面积公式和S阴影部分=S△COE﹣S扇形BOC进行计算即可．

解：（1）连结OC，如图，∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OB=OC，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中，，

∴△AOD≌△COD（SAS）；

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）设半径为r，则OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，∵tan∠COE===，

∴∠COE=60°，

∴S阴影部分=S△COE﹣S扇形BOC=×2×2﹣

=2﹣π．