Question

【题目】在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．

（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；点；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．

【解析】

（1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；

（2）将直线与抛物线联立，通过根与系数关系得到，，再通过得出，通过变形得出代入即可求出的值；

（3）分：， ， 三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可．

（1）∵，，

∵绕点顺时针旋转，得到，

∴点的坐标为：，

将点A,B代入抛物线中得

解得

∴此抛物线的解析式为：

∵；

∴点

（2）直线：与抛物线的对称轴交点的坐标为，

交抛物线于，，

由得：

∴，

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

（3）存在，或，，

∴

设点

，

若，则

即

∴或

若，则

即

∴

若，则

即

∴

即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).