如图.已知一个等腰三角形纸片ABC.其中BC=6.AB=AC=5.M为AB上一动点.过点M作MN∥BC.交AC于点N.在△AMN中.设MN的长为x.MN上的高为h．(1)请你用含x的代数式表示h．(2)将△AMN沿MN折叠.使△AMN落在四边形BCNM所在平面.设点A落在平面的点为A1.△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y.①把y用x表示出来,②x为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知一个等腰三角形纸片ABC，其中BC=6，AB=AC=5，M为AB上一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A₁，△A₁MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，
①把y用x表示出来；
②x为何值时，y最大，最大值为多少？

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过A作AF⊥BC，交BC于点F，交MN于点E，利用勾股定理可求得AF，且△AMN∽△ABC，利用对应高的比等于相似比可找到h和x的关系；
（2）①当M为AB中点即MN为△ABC的中位线时，可求得MN=3，所以当0＜x≤3时可知重叠部分恰好为△AMN的面积，可利用（1）中的高表示出面积；当3＜x＜6时，其重叠部分为一梯形，利用相似比可用x表示出该梯形的底和高，进一步表示出其面积即可；
②利用①中求出的函数关系式，求出两部分的最大值进行比较即可得出y的最大值．

解答：解：（1）如图1，过A作AF⊥BC于F，交MN于E，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=3，可求得AF=4，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，且AE⊥MN，即AE=h，
∴

，即

，
∴h=

x；
（2）①当M、N为AB、AC的中点时，可知MN=

BC=3，
当0＜x≤3时，如图2，

则y=S△A1MN=S_△AMN=

MN•h=

x×

x²；
当3＜x＜6时，如图3，设△A₁MN交BC于G、H两点，

则y=S_梯形GHNM，
由题意可知A₁E=AE=h，
∴A₁F=A₁A-AF=2h-4，且△A₁GH∽△A₁MN，
∴

A1F

A1E

，即

2h-4

，且h=

x，
∴

x-4

，解得GH=2x-6，且EF=4-h=4-

x，
∴y=

（GH+MN）•EF=

（2x-6+x）（4-

x）=-x²+8x-12，
综上可知y=

x2(0＜x≤3)

-x2+8x-12(3＜x＜6)

；
②当0＜x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y_max=3，
当3＜x＜6时，y=-（x-4）²+4，
∴当x=4时，y_max=4，
综上可知当x=4时y有最大值，最大值为4．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，在（1）中利用相似得到对应线段成比例得到关于x和h的式子是解题的关键，在（2）中分两种情况讨论，其中求得梯形的底和高是关键．本题目考查的知识点比较多，运算量也比较大，综合性较强．

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