Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，O为对角线AC的中点，点P，Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B，C，连接PO，QO并延长分别与CD，DA交于点M，N，在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　　）

A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，设BQ＝x，由点P的速度是点Q的速度2倍，设AP＝2x，BP＝8﹣2x，CQ＝4﹣x，用含x的代数式表示阴影部分的面积，根据函数的性质判断.

详解：如图所示，过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，O为对角线AC的中点，

∴OE＝BC＝2，OF＝AB＝4，

设BQ＝x，则由点P的速度是点Q的速度2倍，可得AP＝2x，BP＝8﹣2x，CQ＝4﹣x，

∵△POQ的面积＝Rt△ABC的面积﹣△AOP的面积﹣△COQ的面积﹣△BPQ的面积

＝×4×8﹣×2x×2﹣×(4﹣x)×4﹣x(8﹣2x)

＝x2﹣4x＋8，

∴阴影部分面积y＝2x2﹣8x＋16(0≤x≤4)，

∴当x＝2时，阴影部分面积y有最小值，

根据二次函数的性质，可得阴影部分面积先减小后增大，

故选C．