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【题目】如图,已知一条直线过点,且与抛物线交于A、B两点,其中点A的横坐标是-2.

⑴求这条直线的函数关系式及点B的坐标 ;

⑵在轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;

⑶.过线段AB上一点P,作PM∥轴,交抛物线于点M,点M在第一象限;点,当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?

【答案】1)点B的坐标为(816);(2C的坐标为(0),(00),(60),(320);(3)当M的横坐标为6时,MN+3PM的长度的最大值是18.

【解析】试题分析:(1)、根据点A在二次函数上求出点A的坐标,然后利用待定系数法求出一次函数的解析式,根据一次函数和二次函数的交点坐标求出求出点B的坐标;(2)、根据点A和点B的坐标求出的值,设点C的坐标为(m,0),然后分别求出的值,然后根据勾股定理分三种情况进行讨论,分别求出m的值,得出点C的坐标;(3)、设点M的坐标为:(a, ),MP与y轴交于点Q,根据Rt△MQN的勾股定理求出MN的长度,根据点P和点M的纵坐标相等得出点P的横坐标为,从而得出MN+3MP关于a的函数解析式,然后利用二次函数的性质得出最大值.

试题解析:(1)、∵点A是直线与抛物线的交点,且横坐标为﹣2,

∴y=×(﹣2)2=1,A点的坐标为(﹣2,1),

设直线的函数关系式为y=kx+b,

将(0,4),(﹣2,1)代入得: ,解得:

∴直线y=x+4, ∵直线与抛物线相交, ∴x+4=x2,解得:x=﹣2或x=8,

当x=8时,y=16, ∴点B的坐标为(8,16);

(2)、如图1,连接AC,BC, ∵由A(﹣2,1),B(8,16)可求得AB2=325.

设点C(m,0),同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5, BC2=(m﹣8)2+162=m2﹣16m+320,

①若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320,解得:m=﹣

②若∠ACB=90°,则AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320, 解得:m=0或m=6;

③若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325, 解得:m=32;

∴点C的坐标为(﹣,0),(0,0),(6,0),(32,0)

(3)设M(a, ),设MP与y轴交于点Q,

在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=

又∵点P与点M纵坐标相同, ∴+4=, ∴x=, ∴点P的横坐标为

∴MP=a﹣, ∴MN+3PM=+1+3(a﹣)=﹣+3a+9,

∴当a=﹣=6, 又∵﹣2≤6≤8, ∴取到最大值18,

∴当M的横坐标为6时,MN+3PM的长度的最大值是18.

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