【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA=OB,AC=CD,已知两点A(4,0),C(0,7),点D在第一象限内,∠DCA=90°,点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M,AC与BD交于点N.
(1)点B的坐标为: ;
(2)求点D的坐标;
(3)求证:CM=CN.
【答案】(1)(0,4);(2)D(7,11);(3)证明见解析.
【解析】
(1)由A(4,0)和OA=OB即可得到结论;
(2)过点D作DE⊥y轴,垂足为E,证明△DEC≌△COA,即可得到结论;
(3)证明△DBE是等腰直角三角形,得到∠DBE=45°,从而得到∠DBA=90°.在△DNC和△ABN中,根据三角形内角和定理可得出∠CDN=∠BAN,从而证明△DCN≌△ACM,根据全等三角形对应边相等即可得出结论.
(1)∵A(4,0),
∴OA=OB=4,
∴B(0,4);
(2)∵C(0,7),
∴OC=7.
过点D作DE⊥y轴,垂足为E,
∴∠DEC=∠AOC=90°.
∵∠DCA=90°,
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∴△DEC≌△COA(AAS),
∴DE=OC=7,EC=OA=4,
∴OE=OC+EC=11,
∴D(7,11).
(3)∵BE=OE-OB=11-4=7,
∴BE=DE,
∴△DBE是等腰直角三角形,
∴∠DBE=45°.
∵OA=OB,
∴∠OBA=45°,
∴∠DBA=90°,
∴∠BAN+∠ANB=90°.
∵∠DCA=90°,
∴∠CDN+∠DNC=90°.
∵∠DNC=∠ANB,
∴∠CDN=∠BAN.
∵∠DCA=90°,
∴∠ACM=∠DCN=90°,
∴△DCN≌△ACM(ASA),
∴CM=CN.
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【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).
(1)点A的坐标: ,点E的坐标: ;
(2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;
(3)P是线段AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设L是△PBD的周长,当L取最小值时。
求:①点P的坐标
②判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D在AB上,以BD为直径的⊙O切AC于点E,连接DE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△BDF是等边三角形;
(2)连接AF、DC,若BC=3,写出求四边形AFCD面积的思路.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是弧EB的中点,则下列结论:
①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE,其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,已知一条直线过点,且与抛物线交于A、B两点,其中点A的横坐标是-2.
⑴求这条直线的函数关系式及点B的坐标 ;
⑵在轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
⑶.过线段AB上一点P,作PM∥轴,交抛物线于点M,点M在第一象限;点,当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?
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【题目】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片,按下列规则,把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上;
(1)每次只能移动1个碟片.
(2)较大的碟片不能放在较小的碟片上面.
如图所示,将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上,3号杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次,记将l号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次,则( )
A.31次B.33次C.63次D.65次
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【题目】某市正在进行商业街改造,商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处,现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处,A与B相距150m,且B在A的正东方向.为不破坏古民居的风貌,按照有关规定,在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街.若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处,则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定?
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G.下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③CE=BF;④AE=BG.其中正确的是
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
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