Question

4．如图：函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于点B，C，交y轴于点A．
①试根据函数图象在平面直角坐标系中的位置特点确定a，b，c的符号．
②若点A的坐标（0，-6），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求函数的表达式．

Answer 1

分析 ①由于抛物线过点B，C，点A，则抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，然后根据二次函数的性质可判断a、b、c的符号；
②通过解直角三角形求出OB=6，OC=2$\sqrt{3}$，则得到B、C的坐标，然后利用待定系数法，设交点式求抛物线的解析式．

解答 解：①a＞0，b＞0，c＜0；
②∵点A的坐标（0，-6），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，∵∠ABC=45°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OB=OA=6，
∴B（-6，0），
在Rt△AOC中，∵∠ACO=60°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为（2$\sqrt{3}$，0），
设抛物线解析式为y=a（x+6）（x-2$\sqrt{3}$），
把A（0，-6）代入得a•6•（-2$\sqrt{3}$）=-6，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x+6）（x-2$\sqrt{3}$），即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+（$\sqrt{3}$-1）x-6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．解决本题的关键是求出B、C点的坐标．