Question

已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）当BC=5，CE=4，AD=2，求CD的长；
（2）若AB=AC，试证：

BD

=

DE

．

Answer 1

分析：（1）由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠BEC=∠BDA=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BCE∽△ADC，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长；
（2）由AB=AC，利用等腰三角形的性质，可得∠BAD=∠CAD，又由相似三角形的对应角相等，易证得∠EBD=∠BAD，即可得

BD

=

DE

．

解答：解（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC=∠BDA=90°，
又由∠C是公共角，
∴△BCE∽△ADC，
∴

CD

CE

=

AD

BE

，
∵CE=4，BC=5，AD=2，
在Rt△BCE中，BE=

BC2-CE2

=

52-42

=3，
∴CD=

AD•CE

BE

=

2×4

3

=

8

3

；

（2）若AB=AC，则∠ABC=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△BCE∽△ADC，
∴∠EBC=∠CAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴

BD

=

DE

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．