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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），O为坐标原点．设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O、P、A三点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；
    （3）若点N在抛物线上，问x轴上是否存在点M，使得以M为圆心的⊙M能与△PAN的三边PA、PN、AN所在直线都相切？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将三点坐标代入所设的解析式方程可得abc的值，进而可得解析式；
    （2）连接AC、OB相交于Q，易得Q是矩形OABC的对称中心，进而设其方程为y=kx+b，代入PQ的坐标可得答案；
    （3）假设存在并设出其坐标，①⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切，②⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切，两种情况讨论，根据相切的性质，分析可得答案．
    解答：解：（1）∵O（0，0），P（1，3），A（4，0），
    在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，
    ∴
    c=0
    a+b=3
    16a+4b=0
    ，
    即
    a=-1
    b=4
    c=0
    ，
    所以抛物线的解析式为：y=-x2+4x．（2分）

    （2）连接AC、OB相交于Q，则Q是矩形OABC的对称中心，
    ∵P是⊙P的对称中心，
    ∴PQ平分⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积
    设PQ的解析式为y=kx+b，∵P（1，3）、Q（2，1）（4分）
    ∴
    k+b=3
    2k+b=1
    ，
    ∴
    k=-2
    b=5
    ，
    所以PQ解析式为y=-2x+5．（5分）

    （3）假设x轴上存在点M，使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切，精英家教网
    则有如下两种情形：
    ①当⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN相切时，则M是△PAN的内心．
    ∵M在x轴上，
    ∴x轴为∠PAN的平分线，
    ∴P（1，3）关于x轴的对称点G（1，-3）在AN上，
    所以AN的解析式为：y=x-4，
    由
    y=x-4
    y=-x2+4x
    得到N（-1，-5）（7分）
    作PR⊥ox轴于R，∵PR=3=AR，
    ∴∠PAO=45°，
    在等腰直角△ARP中，PR=3=AR，
    ∴PA=3
    		2

    作NH⊥ox轴于H，因为AN的解析式为：y=x-4，
    所以∠NAH=45°，
    ∵在等腰直角△AHN中，AH=5，NH=3，
    ∴AN=5
    		2
    ，在Rt△NAP中，PN=
    		PA2+AN2
    =2
    		17

    ∴Rt△NAP的内切圆⊙M的半径MT=
    AN+PA-PN
    2
    =4
    		2
    -
    		17
    ，
    ∴AM=
    		2
    MT=8-
    		34
    ，
    ∴M(
    		34
    -4    ，0）．（9分）
    ②当⊙M与△PAN的边AP、AN的延长线相切于J、S，且与AN边相切于R时，则M是△PAN的旁心．
    精英家教网由①Rt△NAP的三边长度分别为：AN=5
    		2
    ，PA=3
    		2
    ，PN=2
    		17

    ∴NS=NR，PR=PJ，
    ∴旁切圆的半径MS=
    AP+AN+PN
    2
    =4
    		2
    +
    		17
    ，
    ∴AM=
    		2
    MS=8+
    		34
    ，M(-
    		34
    -4    ，0）．
    综上所述：x轴上存在点M，
    使得⊙M与△PAN的三边PA、PN、AN所在的直线都相切M(
    		34
    -4    ，0）、M(-
    		34
    -4    ，0）．（12分）
    点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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