Question

已知:AD、BC是⊙O的两条互相垂直的弦,垂足为E，H是弦BC的中点，AO是 ∠DAB的平分线，半径OA交弦CB于点M.

（1）如图1，延长OH交AB于点N，求证：ONB=2ZAON;

（2）如图2，若点M是OA的中点,求证:AD=40H;

⑶ 如图3,延长HO交00于点F,连接BF,若C0的延长线交BF于点G，CG丄BF，CH=， 求⊙0的半径长. 

Answer 1

 (1）证明：如图1，H是弦BC的中点，

∴AD⊥BC ∴∠DEB＝90°

∴∠OHB＝∠DEB   ∴OH∥AD   ∴∠DAO＝∠AOH ……1分

∵∠DAO＝∠OAN    ∴  ∠OAN＝∠NOA ……1分

∴∠ONB＝∠NAO＋∠NOA＝2∠AON

∴∠ONB＝2∠AON； ……1分

(2) 如图2，过点O作OP⊥AD,可证四边形OHEP是矩形

∴OH＝EP ∵点M是OA的中点，可证△OHM≌△AEM

∴OH＝AE ∴EP＝AE  ……1分

即：AP＝2AE＝2OH

∵OP⊥AD  ∴AD＝2AP ……1分

 

∴AD＝2AP＝2×2OH＝4OH

∴AD＝4OH ……1分

(3）如图3，延长FN交⊙O于点K，连接BK，

∵FK是⊙O的直径 ∴∠KBF＝90°

∵CG⊥BF， ∴∠CGF＝90°∴CG∥BK ……1分

∴ ∠CON＝∠OKB      又∵∠COK＝2∠CBK

∴∠OKB＝2∠CBK ……1分

在Rt△HKB中，∠CBK＋∠OKB＝90°

∴ ∠CBK＝30°,∴∠COK＝2∠CBK＝60° ……1分

在Rt△OCH中，

∴⊙O的半径为2. ……1分