Question

已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将线段AB沿x轴正方向平移，与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点F（p，q）．

（1）当F点恰好为线段的中点时，求直线AF的解析式 （用含a的代数式表示）；

（2）若直线AF分别与x轴、y轴交于点M、N，当q=-a²+5a时，令S=S_△ANO+S_△MFO（其中O是原点），求S的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）10＜S＜16．

【解析】

试题分析：（1）先把点A（2，a）代入反比例函数y=（x＞0）求出k的值，再根据F为线段的中点可知F的纵坐标为，把y=代入y=可得出x的值，进而得出点F的坐标，利用待定系数求出直线AF的解析式即可；

（2）根据点F（p，q） 在反比例函数y=的图象上且q=-a²+5a可得出F点的坐标，故可得出直线AF的解析式，进而得出M、N的坐标，过A作AG⊥y轴于点G，则可得出AG，ON，OM，FH的长，根据S=S_△ANO+S_△MFO=•ON•AG+OM•FH可得出关于S、a的二次函数，根据a的取值范围即可得出结论．

试题解析：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，a）（a＞0），

∴k=2a，

∴y=，

∵F为线段的中点，

∴F的纵坐标为，把y=代入y=得x=4

∴F（4，），

设直线AF的解析式为y=k₁x+b，

∴，

解得，

∴直线AF的解析式为：；

（2）∵F（p，q） 在反比例函数y=的图象上，

∴q=，

∵q=-a²+5a，

∴p=，

∴F（，-a²+5a）

∴直线AF的解析式为：y=x+（6a-a²），

∴N（0，6a-a²），M（，0），

过A作AG⊥y轴于点G，

则AG=2，ON=6a-a²，OM=，FH=-a²+5a

S=S_△ANO+S_△MFO=•ON•AG+OM•FH

=×2×（6a-a²）+••（-a²+5a）

=-2a²+12a

=-2（a-3）²+18

∵q＞0，q＜a，

∴4＜a＜5．

∴由函数性质可知，10＜S＜16．

【难度】困难