Question

如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S₁、S₂、S₃、…、S_n，则S_n的值为          ．

Answer 1

2^4n-5

【解析】

试题分析：根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．

解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，

∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四个正方形的边长为8，

第三个正方形的边长为4，

第二个正方形的边长为2，

第一个正方形的边长为1，

…，

第n个正方形的边长为2^n-1，

由图可知，S₁=×1×1+×（1+2）×2-×（1+2）×2=，

S₂=×4×4+×（2+4）×4-×（2+4）×4=8，

…，

S_n为第2n与第2n-1个正方形中的阴影部分，

第2n个正方形的边长为2^2n-1，第2n-1个正方形的边长为2^2n-2，

S_n=•2^2n-2•2^2n-2=2^4n-5．

【难度】较难