Question

20．已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．
（1）求证：关于x的一元二次方程mx²+$\sqrt{2}$px+n=0必有实数根；
（2）若x=-1是一元二次方程mx²+$\sqrt{2}$px+n=0的一个根，且Rt△ABC的周长为2$\sqrt{2}$+2，求Rt△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）计算根的判别式和勾股定理两者结合得出答案即可；
（2）由若x=-1是一元二次方程mx²+$\sqrt{2}$px+n=0的一个根，且Rt△ABC的周长为2$\sqrt{2}$+2，结合m≤n＜p推出mn的乘积即可得出结论．

解答 （1）证明：∵m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p，
∴p²=m²+n²，
∴b²-4ac=2p²-4mn=2（m²+n²）-4mn=2（m-n）²≥0，
∴关于x的一元二次方程mx²+$\sqrt{2}$px+n=0必有实数根；
（2）解：∵x=-1是一元二次方程mx²+$\sqrt{2}$px+n=0的一个根，
∴m-$\sqrt{2}$p+n=0①，
∵Rt△ABC的周长为2$\sqrt{2}$+2，
∴m+n+p=2$\sqrt{2}$+2②，
由①、②得：m+n=2$\sqrt{2}$，p=2，
∴（m+n）²=8，
∴m²+2mn+n²=8，
又∵m²+n²=p²=4，
∴2mn=4，
∴$\frac{1}{2}$mn=1，
∴Rt△ABC的面积是1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．