Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，过点B作以点A为圆心，AC为半径的⊙A的切线，切点为D，延长CA交圆于点E，交切线BD的延长线于点F，连接DE．
（1）求证：ED∥AB；
（2）求线段EF的长及sin∠EDF．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接AB、AD，如图，先根据切线的性质得∠ADB=90°，再利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△ACB，得到∠1=∠2，BD=BC=6，然后根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4，加上∠3=∠4，易得∠1=∠3，于是根据平行线的性质得到DE∥AB；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由DE∥AB得到

FD

BD

=

FE

EA

，则FD=2EF，在Rt△ADF中利用勾股定理可计算出EF=2；再由DE∥AB得到∠EDF=∠ABD，
然后在Rt△ADB中，利用正弦的定义计算出sin∠ABD=

AD

AB

=

5

5

，所以sin∠EDF=

5

5

．

解答：（1）证明：连接AB、AD，如图，
∵BD为⊙A的切线，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACB中，

AD=AC AB=AB

，
∴Rt△ABD≌Rt△ACB，
∴∠1=∠2，BD=BC=6，
∵∠1+∠2=∠3+∠4，
而由AD=AE得∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴

FD

BD

=

FE

EA

，即

FD

6

=

EF

3

，
∴FD=2EF，
在Rt△ADF中，∵DF²+AD²=AF²，
∴4EF²+3²=（EF+3）²，
∴EF=2；
∵DE∥AB，
∴∠EDF=∠ABD，
在Rt△ADB中，∵AD=3，BD=6，
∴AB=

AD2+BD2

=3

5

，
∴sin∠ABD=

AD

AB

=

3

3 5

=

5

5

，
∴sin∠EDF=

5

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理．