Question

有理数a，b满足ab=1，设M=

1

1+a

+

1

1+b

；N=

a

1+a

+

b

1+b

，求证：M=N．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：证明题

分析：把M=

1

1+a

+

1

1+b

和N=

a

1+a

+

b

1+b

通分，化简M，N，再证明M=N即可．

解答：解：∵ab=1，
∴M=

1

1+a

+

1

1+b

=

1+b

(1+a)(1+b)

+

1+a

(1+a)(1+b)

=

2+a+b

(1+a)(1+b)

=

2+a+b

1+a+b+ab

=1；
N=

a

1+a

+

b

1+b

=

a(1+b)

(1+a)(1+b)

+

b(1+a)

(1+a)(1+b)

=

a+ab+b+ab

(1+a)(1+b)

=

2+a+b

1+a+b+ab

=1，
∴M=N．

点评：本题考查了分式的加减法，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．